Funções

O(log n) · 2º período

Sumário desta página

1. Função: entrada e saída

Imagine uma máquina.

Você coloca um número nela e ela devolve outro número.

Por exemplo:

f(x) = x^2 - 4

Se colocarmos $x = 2$ :

f(2) = 2^2 - 4 = 0

Se colocarmos $x = 3$ :

f(3) = 3^2 - 4 = 5

Podemos pensar assim:

\boxed{x} \longrightarrow \boxed{f(x)}

A função recebe uma entrada e produz uma saída.

Matematicamente:

f : A \rightarrow B

Isso significa que a função relaciona elementos do conjunto $A$ com elementos do conjunto $B$ .

O ponto mais importante é:

Para cada entrada permitida, a função deve produzir uma única saída.

2. Vamos enxergar a função

Considere novamente:

f(x) = x^2 - 4

Alguns valores são:

f(-3)=5,\quad f(-2)=0,\quad f(-1)=-3,\quad f(0)=-4

f(1)=-3,\quad f(2)=0,\quad f(3)=5

Agora, em vez de olhar apenas para os números, vamos colocar esses pontos no plano cartesiano.

Legenda: eixo horizontal = x; eixo vertical = y; ponto mínimo = (0, -4); pontos marcados = (-2,0), (2,0).

Legenda do gráfico:

eixo horizontal: $x$
eixo vertical: $y$
ponto mínimo: $(0, -4)$
pontos marcados: $(-2,0)$ , $(2,0)$

Agora conseguimos perceber algo que uma lista de números não mostra tão bem:

a função diminui quando $x$ vai de valores negativos em direção a $0$ ;
ela atinge seu menor valor em $x=0$ ;
depois começa a aumentar;
o gráfico possui formato de parábola;
o ponto mais baixo é $(0,-4)$ .

É justamente por isso que os gráficos são tão importantes no Cálculo.

3. Domínio: quais valores podem entrar?

Agora vem uma pergunta importante:

Podemos colocar qualquer número em uma função?

Nem sempre.

Considere:

g(x) = \frac{1}{x-2}

Podemos colocar $x = 5$ ?

Sim:

g(5) = \frac{1}{5-2} = \frac{1}{3}

Podemos colocar $x=0$ ?

Sim:

g(0) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}

Mas podemos colocar $x=2$ ?

Não.

Teríamos:

g(2) = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0}

E divisão por zero não existe.

Portanto, o número $2$ não pertence ao domínio.

Assim:

D = \mathbb{R} \setminus \{2\}

Ou seja:

O domínio é o conjunto de valores que podemos colocar na função.

4. Imagem: quais valores podem sair?

Agora fazemos a pergunta contrária:

Quais valores a função consegue produzir?

Considere novamente:

f(x) = x^2 - 4

Sabemos que:

x^2 \ge 0

Portanto:

x^2 - 4 \ge -4

A função nunca produzirá um valor menor que $-4$ .

Seu menor valor é:

f(0) = -4

Então:

Im(f) = [-4, +\infty)

No gráfico, isso fica muito mais fácil de enxergar: a curva começa em $y = -4$ e, a partir daí, sobe para os dois lados.

5. Crescendo ou diminuindo?

Observe novamente o gráfico de:

f(x) = x^2 - 4

Quando caminhamos pelo eixo $x$ da esquerda para a direita, percebemos duas coisas diferentes.

Antes de $x=0$ , a função está diminuindo.

Depois de $x=0$ , a função está aumentando.

Podemos resumir:

x < 0 \Rightarrow \text{função decrescente}

x > 0 \Rightarrow \text{função crescente}

E em:

x = 0

temos o ponto mínimo.

Mais adiante, a derivada será uma ferramenta para identificar exatamente esse comportamento.

← Estágio 1 - Funções e limites $ editar esta página