Limites e Continuidade

O(log n) · 2º período

Sumário desta página

1. Agora vem a ideia de limite

Até aqui, perguntamos coisas como:

Quanto vale $f(2)$ ?

Mas o limite faz uma pergunta diferente:

O que está acontecendo com $f(x)$ quando $x$ está chegando perto de $2$ ?

Essa diferença é fundamental.

Imagine que estamos nos aproximando de $2$ .

Podemos chegar por números menores:

1.9,\ 1.99,\ 1.999,\ 1.9999

Ou por números maiores:

2.1,\ 2.01,\ 2.001,\ 2.0001

Isso dá origem aos limites laterais.

2. Limite pela esquerda

Quando escrevemos:

x \to 2^-

o sinal $-$ significa:

estamos nos aproximando de $2$ usando valores menores que $2$ .

Por exemplo:

1.9,\ 1.99,\ 1.999,\ 1.9999,\ldots

Todos esses números estão à esquerda de $2$ na reta numérica.

Portanto:

x \to 2^-

significa:

$x$ se aproxima de $2$ pela esquerda.

3. Limite pela direita

Agora fazemos o contrário.

Quando escrevemos:

x \to 2^+

estamos nos aproximando de $2$ usando valores maiores que $2$ .

Por exemplo:

2.1,\ 2.01,\ 2.001,\ 2.0001,\ldots

Portanto:

x \to 2^+

significa:

$x$ se aproxima de $2$ pela direita.

4. Vamos colocar isso em um gráfico

Considere:

f(x) = \frac{1}{x-2}

O número $2$ não pertence ao domínio.

Mas o que acontece quando chegamos perto dele?

Legenda: assíntota vertical em x = 2; os ramos mostram comportamento para x→2⁻ e x→2⁺.

A função tem uma assíntota vertical em $x=2$ .

Aproximando pela esquerda

Quando:

x \to 2^-

A função desce cada vez mais:

f(x) \to -\infty

Aproximando pela direita

Quando:

x \to 2^+

a função sobe cada vez mais:

f(x) \to +\infty

Portanto:

\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2} = -\infty

\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2} = +\infty

Isso mostra que os lados esquerdo e direito não chegam ao mesmo valor. A função não é contínua em $x=2$ .

5. Então o que é o limite?

Agora podemos entender a ideia de forma mais natural.

Quando escrevemos:

\lim_{x\to a} f(x) = L

estamos dizendo:

Quando $x$ fica cada vez mais próximo de $a$ , os valores de $f(x)$ ficam cada vez mais próximos de $L$ .

O ponto importante é que estamos interessados no comportamento próximo de $a$ .

Não necessariamente no valor da função exatamente em $a$ .

6. Um exemplo em que a função nem existe no ponto

Considere:

f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}

Se tentarmos calcular $f(1)$ :

f(1) = \frac{1^2-1}{1-1} = \frac{0}{0}

Portanto, a função original não está definida em $x=1$ .

Mas podemos simplificar:

x^2-1 = (x-1)(x+1)

Logo:

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

Para $x \neq 1$ :

f(x) = x+1

Agora podemos observar o comportamento próximo de $1$ :

\lim_{x\to1}(x+1) = 2

Portanto:

\boxed{\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2}

Perceba a diferença:

$f(1)$ não existe;
mas $\lim_{x\to1} f(x)=2$ .

O limite descreve o comportamento ao redor do ponto, não necessariamente o valor naquele ponto.

7. Quando os dois lados concordam

Para existir um limite bilateral:

\lim_{x\to a} f(x)

os dois lados precisam chegar ao mesmo lugar.

Ou seja:

\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x)

Se os dois lados chegam ao mesmo valor $L$ , então:

\lim_{x\to a} f(x) = L

Se chegam a valores diferentes, o limite bilateral não existe.

8. Limites trigonométricos

Alguns limites aparecem com tanta frequência que vale a pena memorizar a regra principal:

\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Essa regra é a base para resolver muitos limites que, à primeira vista, parecem complicados.

Quando $x$ fica muito pequeno, o seno cresce na mesma proporção que o próprio ângulo. Por isso, perto de zero, o quociente $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$ .

Regra prática

Se aparecer um limite do tipo:

\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{x}

você pode usar a ideia de que:

\frac{\sin(ax)}{x} = a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}

Portanto:

\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a

Exemplo:

\lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3

9. Regra prática para tirar a raiz

Quando um limite envolve uma expressão com raiz, a estratégia mais útil é multiplicar pela expressão conjugada.

Essa técnica é conhecida como racionalização.

Exemplo

Considere:

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}

Se substituirmos $x=0$ , vemos que aparece a forma $0/0$ . Então precisamos manipular a expressão.

A ideia é multiplicar pelo conjugado do numerador:

\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}

Isso resulta em:

\frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1}+1)}

\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}

Como $x \neq 0$ perto de zero, podemos cancelar $x$ :

\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}

Agora calculamos o limite:

\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}

Substituindo $x=0$ :

\frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}

Portanto:

\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{1}{2}}

Regra prática:

Quando aparecer uma diferença com raiz, multiplique pelo conjugado para eliminar a raiz do numerador ou do denominador.

10. Teorema do confronto

Em muitos casos, não conseguimos calcular um limite diretamente, mas conseguimos comparar a função com outras duas que já sabemos como se comportam.

Esse é o papel do teorema do confronto.

Se, perto de $a$ , tivermos:

g(x) \le f(x) \le h(x)

e também:

\lim_{x\to a} g(x) = L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} h(x) = L,

então:

\boxed{\lim_{x\to a} f(x) = L}

A ideia é simples: se a função $f(x)$ fica sempre entre duas funções que convergem para o mesmo valor, então ela não pode escapar desse valor.

Exemplo clássico

Considere:

f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)

Quando $x$ está perto de $0$ , sabemos que:

-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1

Multiplicando tudo por $x^2$ , que é sempre não negativo, obtemos:

-x^2 \le x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2

Agora observe:

\lim_{x\to 0} (-x^2) = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} x^2 = 0

Pelo teorema do confronto:

\boxed{\lim_{x\to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0}

Esse exemplo mostra uma ideia muito importante: mesmo quando a função oscila, se ela estiver presa entre duas funções que vão para o mesmo valor, então ela também vai para esse valor.

11. Continuidade

Imagine desenhar o gráfico de uma função sem tirar o lápis do papel.

Se existe uma ruptura, um salto ou um buraco, temos um problema de continuidade.

Formalmente, uma função é contínua em $x=a$ quando:

\lim_{x\to a} f(x) = f(a)

Isso exige três coisas:

$f(a)$ existe;
$\lim_{x\to a} f(x)$ existe;
os dois valores são iguais.

Ou seja:

\boxed{\lim_{x\to a} f(x) = f(a)}

12. Contextualização: o que isso significa no mundo real?

Imagine uma fábrica que mede o custo de produção de um item em função da quantidade produzida.

Se o custo muda de forma suave, a função é contínua. Mas se, em certo ponto, o custo “salta” por causa de um novo turno ou de uma mudança de capacidade, então a função deixa de ser contínua.

Outro exemplo é a temperatura de um sistema: em alguns pontos, a temperatura pode variar de forma contínua; em outros, pode haver uma mudança brusca por causa de uma reação ou de uma troca de fase.

Esse tipo de raciocínio é importante porque o Cálculo não é apenas manipular símbolos: ele descreve como fenômenos reais mudam e quando essa mudança deixa de ser suave.

13. Exercícios de fixação

Exercício 1 — Domínio

Determine o domínio:

f(x)=\frac{1}{x-3}

Exercício 2 — Função

Calcule:

f(2)

para:

f(x) = x^2 + 1

Exercício 3 — Esquerda e direita

Considere:

f(x) = \frac{1}{x-2}

Explique quais valores de $x$ são utilizados quando:

x \to 2^-

e quando:

x \to 2^+

Exercício 4 — Limites laterais

Calcule:

\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}

\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}

Exercício 5 — Limite trigonométrico

Calcule:

\lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)}{x}

Exercício 6 — Racionalização

Calcule:

\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}

Exercício 7 — Teorema do confronto

Use o teorema do confronto para mostrar que:

\lim_{x\to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)=0

Exercício 8 — Continuidade

Explique por que:

g(x) = \frac{1}{x-2}

não é contínua em $x=2$ .

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